Universitätsbibliothek Wien

Theoretical studies of nonlinear water waves

Quirchmayr, Ronald (2017) Theoretical studies of nonlinear water waves.
Dissertation, Universität Wien. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Constantin, Adrian

[img] PDF-Dokument
Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved

Download (30Mb)
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-30453.73308.736058-2
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-30453.73308.736058-2

Link zu u:search

Abstract in Englisch

In this doctoral thesis we investigate several aspects of nonlinear water waves. The exposition is divided into two parts. The first part is concerned with a model equation which we derive from the classical water wave problem for unidirectional water waves, where the divergence-free flow beneath the free water surface over a flat bed is governed by the incompressible Euler equations, with gravity acting as the only external force. This model equation describes the evolution of the horizontal velocity component of the flow field evaluated at a specific depth within a shallow water regime, allowing for waves of large amplitude. We study the corresponding Cauchy problem and establish local well-posedness in the natural Sobolev setting by using Kato’s semigroup approach for quasilinear hyperbolic evolution equations. Additionally we prove that the regularity of the solution of the Cauchy problem inherits the regularity of the initial data in terms of the Sobolev exponent. This enables us to derive a blow-up criterion for solutions, which allows a meaningful interpretation from a physical point of view. In a second paper, joint work with Anna Geyer, we investigate the traveling wave solutions of this highly nonlinear model equation. By applying qualitative methods from the theory of dynamical systems, in particular tools from integrable planar systems, we establish a full classification of all traveling waves. Thereby we discover completely new types of traveling waves, e.g. peaked solitary waves with compact support and periodic traveling waves with peaked crests and troughs, which do not appear as solutions of shallow water equations for waves of moderate amplitude such as the well-known Camassa-Holm equation. In the second part, we present some investigations of ocean flow dynamics. We give a detailed qualitative analysis of the irrotational velocity field beneath smooth symmetric periodic traveling waves in the equatorial region and describe the pattern of the paths of particles beneath such waves. Our analysis, which makes use of methods from complex and harmonic analysis, does { in contrast to the first part { not rely on approximations. Thus we do not need to impose restrictions on the amplitude of the wave. The underlying governing equations differ slightly from the classical water wave problem: the Euler equations are extended by linear terms accounting for the effects of the earth’s rotation near the Equator, which become relevant for large ocean waves. We show that this perturbation does not alter the qualitative properties of the flow field. Also the particle paths are similar to the ones of the flows beneath classical Stokes waves. Finally we discuss some aspects of a stratified wind-induced current field with eddy viscosity in the equatorial region.

Schlagwörter in Englisch

Nonlinear water waves / nonlinear partial differential equations / shallow water waves / traveling waves / phase plane analysis / equatorial flows / particle paths

Abstract in Deutsch

Die vorliegende Dissertation, welche sich grob in zwei Teile aufgliedert, beleuchtet verschiedene Aspekte nichtlinearer Wasserwellen. Zunächst wird eine Modellgleichung betrachtet, die sich von den inkompressiblen Euler-Gleichungen samt zugehörigen freien Randbedingungen zur Beschreibung von gleichlaufenden Wasserwellen über flachem Grund unter dem Einfluss der Gravitationskraft ableiten lässt. Diese Modellgleichung enthält kubische Nichtlinearitäten und beschreibt die Ausbreitung der horizontalen Strömungskomponente des Geschwindigkeitsfeldes an einer bestimmten fixen Wassertiefe unterhalb einer Flachwasserwelle mit großer Amplitude. Wir beweisen die zeitlich lokale Wohlgestelltheit des zugehörigen Anfangswertproblems im natürlichen Sobolev-Setting mithilfe von Katos Halbgruppentheorie für quasilineare hyperbolische Evolutionsgleichungen. Außerdem zeigt sich, dass die Lösung ihre Regularität im Sinne des Sobolevexponenten von den Anfangsdaten erbt. Wir verwenden diese Eigenschaft, um ein Kriterium für die zeitliche Dauer der Existenz von Lösungen abzuleiten, welches eine physikalische Interpretation zulässt. In einer weiteren Arbeit, an der Anna Geyer mitwirkte, untersuchen wir Wanderwellen ("traveling waves") ebendieser Modellgleichung hinsichtlich qualitativer Merkmale. Durch die Anwendung von Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme gelingt eine Klassifikation sämtlicher Wanderwellen. Dabei stoßen wir auf neuartige Lösungen, etwa gezackte kompakt getragene solitäre Wanderwellen oder periodische Wanderwellen mit spitzen Wellenbergen und Wellentälern, welche nicht als Lösungen von Modellgleichungen für Flachwasserwellen mit moderater Amplitude, wie der Camassa-Holm Gleichung, auftreten. Im zweiten Teil wird die Dynamik gewisser Ozeanwellen untersucht. Wir analysieren Strömungsfelder ohne Vorizität unterhalb einer symmetrischen, sich periodisch ausbreitenden Wanderwelle im Bereich des Äquators hinsichtlich qualitativer Aspekte und beschreiben die Formen der Partikelbahnen. Im Unterschied zum ersten Teil wird direkt das zugrundeliegende physikalische Modell behandelt, welches im Falle von Ozeanwellen den Einfluss der Erdrotation berücksichtigt. Es werden keine Näherungsmodelle verwendet, wodurch auf eine Beschränkungen der Größenordnung der Wellenamplitude verzichtet werden kann. Wir zeigen, dass sowohl die qualitativen Eigenschaften der Strömungsfelder, als auch die Formen der Partikelbahnen ähnlich sind wie im Falle von klassischen Stokes-Wellen. Schließlich behandeln wir gewisse Aspekte einer geschichteten Meeresströmung im äquatorialen Bereich.

Schlagwörter in Deutsch

Nichtlineare Wasserwellen / nichtlineare partielle Differentialgleichungen / Flachwasserwellen / Wanderwellen / Phasenraumanalyse / äquatoriale Strömungen / Partikelpfade

Dokumentenart: Hochschulschrift (Dissertation)
AutorIn: Quirchmayr, Ronald
Titel: Theoretical studies of nonlinear water waves
Umfangsangabe: 103, 6 ungezählte Seiten : Diagramme
Institution: Universität Wien
Fakultät: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Publikationsjahr: 2017
Sprache: eng ... Englisch
BetreuerIn: Constantin, Adrian
BeurteilerIn: Lenells, Jonatan
2. BeurteilerIn: Henry, David
Klassifikation: 31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC-Nummer: AC14500001
Dokumenten-ID: 45967
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

Urheberrechtshinweis: Für Dokumente, die in elektronischer Form über Datennetze angeboten werden, gilt uneingeschränkt das österreichische Urheberrechtsgesetz; insbesondere sind gemäß § 42 UrhG Kopien und Vervielfältigungen nur zum eigenen und privaten Gebrauch gestattet. Details siehe Gesetzestext.

Dokument bearbeiten (nur für AdministratorInnen) Dokument bearbeiten (nur für AdministratorInnen)