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Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting

Bojko, Arkadij (2018) Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting.
Masterarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Katzarkov, Ludmil

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DOI: 10.25365/thesis.52820
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-22034.35464.794854-2

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Abstract in English

The notion of stability conditions on triangulated categories was introduced by T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories". Additionally, we worked with the notion of non-commutative curve counting introduced by G. Dimitrov and L. Katzarkov in "Some new categorical invariants". Here, non-commutative curves of a certain genus l correspond to some equivalence classes of fully faithful exact functors into the triangulated category. Whether a non-commutative curve is semistable, depends on the stability condition of the triangulated category. We considered the derived category of the abelian category of representations of an acyclic triangular quiver. We recalled that there exist exactly two non-commutative curves of genus 1 in this category, and we constructed such stability conditions, such that both of these curves are semistable, each one of them is semistable while the other isn't, and none of them are semistable. This was achieved using exceptional collections in the derived category and assigning complex values to their exceptional objects. Varying these complex values, we were able to construct different stability conditions corresponding to all the above cases. For future research, one would like to observe the wall crossing of the number of semistable non-commutative curves, as one varies the stability conditions, more precisely.

Schlagwörter in Englisch

triangulated categories / derived categories / stability conditions / non-commutative curve counting / non-commutative / semistable / representations of quivers

Abstract in German

Der Begriff von Stabilitätkondizionen auf triangulierten Kategorien wurde von T. Bridgeland in "Stability conditions on triangulated categories" eingeführt. Zusätzlich haben wir mit den nicht-kommutativen Kurven, die von G. Dimitrov und L. Katzarkov in "Some new categorical invariants" definiert wurden, gearbeitet. Als nicht-kommutative Kurven werden hier bestimmte Äquivalenzklassen von volltreuen exakten Funktoren in die entsprechende triangulierte Kategorie bezeichnet. Ihre Semistabilität hängt von der Stabilitätkondizion der Kategorie, für die sie betrachtet werden. Wir haben uns mit der derivierten Kategorie von der abelschen Kategorie der Represäntationen des azyklischen dreieckigen Köchers beschäftigt. Wir haben die bekannte Aussage wiederholt, die sagte, dass es in dieser Kategorie genau 2 nicht-kommutative Kurven mit Genus 1 gibt. Weiter haben wir solche Stabilitätkondizionen konstruiert, sodass alle möchliche Kombinationen von diesen nicht-kommutativen Kurven semistabil werden. Das haben wir unter der Anwendung von ausgezeichneten Sammlungen in der deririverten Kategorie erreicht, indem wir den ausgezeichneten Objekten dieser Sammlung bestimmte komplexe Zahlen zugeordnet haben. Durch Variation von diesen Komplexen Zahlen haben wir alle oben besprochene Stabilitätkondizionen konstruiert. In der Zukunft möchte man genauer das "wall-crossing" von der Anzahl der semistabilen nicht-kommutativen Kurven betrachten, wenn man die Stabilitätkondizionen variert.

Schlagwörter in Deutsch

triangulierte Kategorien / derivierte Kategorien / Stabilitätbedingungen / Stabilitätkondizionen / nicht-kommutative / Kurven / semistabil / Representationen von Köchern

Item Type: Hochschulschrift (Masterarbeit)
Author: Bojko, Arkadij
Title: Stability conditions on quivers and semistable non-commutative curve counting
Umfangsangabe: 34 Seiten
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Masterstudium Mathematik
Publication year: 2018
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Katzarkov, Ludmil
MitbetreuerIn: Dimitrov, George
Assessor: Katzarkov, Ludmil
Classification: 31 Mathematik > 31.27 Kategorientheorie
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
31 Mathematik > 31.29 Algebra: Sonstiges
31 Mathematik > 31.50 Geometrie: Allgemeines
31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
31 Mathematik > 31.60 Topologie: Allgemeines
31 Mathematik > 31.25 Lineare Algebra, multilineare Algebra
31 Mathematik > 31.61 Algebraische Topologie
AC Number: AC15227190
Item ID: 52820
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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