Isomorphisms of algebras of smooth and generalized functions

Burtscher, Annegret (2009) Isomorphisms of algebras of smooth and generalized functions.
Diplomarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Kunzinger, Michael

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Abstract in English

A well-known result in commutative Banach algebra theory states that two locally compact spaces $X$ and $Y$ are homeomorphic if and only if the $C^*$-algebras of continuous functions $C_0(X)$ and $C_0(Y)$ are algebraically isomorphic. Our aim is to construct a similar theory for algebras of smooth functions and Colombeau generalized functions. The underlying topological spaces are finite-dimensional smooth manifolds $X$ and $Y$ which are Hausdorff and second countable. We find that the non-zero multiplicative linear functions on $C^{\infty}(X)$ and $\mathcal{G}(X)$ can be identified with the points in $X$ and the compactly supported generalized points $\widetilde{X}_c$, respectively. Moreover, we prove that algebra isomorphisms $C^{\infty}(X) \rightarrow C^{\infty}(Y)$ are characterized by diffeomorphisms from $Y$ to $X$, a fact that holds even for manifolds that are not second countable. The same question for Colombeau algebras leads to c-bounded generalized functions $\mathcal{G}[Y,X]$ which again completely determine the algebra isomorphisms $\mathcal{G}(X) \rightarrow \mathcal{G}(Y)$.

Schlagwörter in Englisch

isomorphisms / isomorphisms of algebras / smooth functions / generalized functions / Colombeau algebras / manifolds / differential geometry / semi-Riemannian manifolds

Abstract in German

Ein bekanntes Resultat in der Theorie kommutativer Banachalgebren besagt, dass zwei lokal kompakte Räume $X$ und $Y$ genau dann homöomorph sind, wenn die $C^*$-Algebren der stetigen Abbildungen $C_0(X)$ und $C_0(Y)$ algebraisch isomorph sind. Es ist unser Ziel, analoge Aussagen auch für Algebren glatter Abbildungen bzw. Colombeaualgebren zu zeigen. Die zugrundeliegenden topologischen Räume werden in diesem Fall endlich-dimensionale glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ sein, die Hausdorff sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Wir werden sehen, dass nichttriviale multiplikative lineare Funktionale auf $C^{\infty}(X)$ bzw. $\mathcal{G}(X)$ mit Punkten in $X$ bzw. kompakt getragenen verallgemeinerten Punkten $\widetilde{X}_c$ identifiziert werden können. Zudem werden wir beweisen, dass Algebraisomorphismen $C^{\infty}(X) \rightarrow C^{\infty}(Y)$ bereits durch Diffeomorphismen von $Y$ nach $X$ charakterisiert sind. Letzteres gilt sogar für Mannigfaltigkeiten, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen. Im Zusammenhang mit Colombeau verallgemeinerten Funktionen führt uns diese Fragestellung zu kompakt beschränkten verallgemeinerten Funktionen $\mathcal{G}[Y,X]$, welche die Algebraisomorphismen $\mathcal{G}(X) \rightarrow \mathcal{G}(Y)$ wiederum komplett beschreiben.

Schlagwörter in Deutsch

Isomorphismen / Algebraisomorphismen / glatte Funktionen / verallgemeinerte Funktionen / Colombeaualgebren / Mannigfaltigkeiten / Differentialgeometrie / semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Item Type:	Hochschulschrift (Diplomarbeit)
Author:	Burtscher, Annegret
Title:	Isomorphisms of algebras of smooth and generalized functions
Umfangsangabe:	VIII, 97 Bl.
Institution:	University of Vienna
Faculty:	Fakultät für Mathematik
Publication year:	2009
Language:	eng ... Englisch
Supervisor:	Kunzinger, Michael
Assessor:	Kunzinger, Michael
Classification:	31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis 31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis 31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie 31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
AC Number:	AC07684629
Item ID:	4988

(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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