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The Hasse-Minkowski theorem for global fields

Castellano, Giancarlo (2017) The Hasse-Minkowski theorem for global fields.
Masterarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Summerer, Leonhard

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DOI: 10.25365/thesis.47316
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-16681.86182.863954-3

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Abstract in English

The main goal of this thesis is to present the proof of the Hasse-Minkowski Theorem, a celebrated result in number theory which allows one to fully classify quadratic forms over so-called global fields, in particular over algebraic number fields. The concepts and results relevant to the proof, both from valuation theory and the theory of quadratic forms, are discussed in detail and in a virtually self-contained fashion, with particular emphasis on fundamental invariants of quadratic spaces; the results are then specialized to local fields, and one is finally in a position to prove that quadratic spaces over global fields are completely characterized by their “local behaviour”, which is essentially the content of the Hasse-Minkowski Theorem.

Schlagwörter in Englisch

Hasse-Minkowski Theorem / quadratic forms over global fields / quadratic forms over algebraic number fields / quadratic forms / global fields / algebraic number fields / local-global principle / number theory / Hilbert symbol / Hasse symbol / invariants / invariants of quadratic spaces / algebraic number theory / valuation theory / local fields / non-archimedean / p-adic numbers / quadratic forms over local fields

Abstract in German

Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist es, den Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski zu präsentieren: Dabei handelt es sich um ein berühmtes Resultat aus der Zahlentheorie, das es einem ermöglicht, quadratische Formen über sogenannten globalen Körpern, also insbesondere über algebraischen Zahlkörpern, vollständig zu klassifizieren. Die zum Beweis relevanten Begriffe und Resultate, sowohl aus der Bewertungstheorie als auch aus der Theorie der quadratischen Formen, werden ausführlich behandelt mit speziellem Augenmerk auf fundamentalen Invarianten quadratischer Räume; es wird dabei meist kein spezielles Vorwissen seitens des Lesers vorausgesetzt. Die besprochenen Theoreme werden anschließend auf lokale Körper angewandt; dies ermöglicht zu zeigen, dass quadratische Räume über globalen Körpern vollständig durch ihr “lokales Verhalten” charakterisiert sind, was ja im Wesentlichen dem Inhalt des Satzes von Hasse-Minkowski entspricht.

Schlagwörter in Deutsch

Hasse-MinkowskiTheorie / globale Körper

Item Type: Hochschulschrift (Masterarbeit)
Author: Castellano, Giancarlo
Title: The Hasse-Minkowski theorem for global fields
Umfangsangabe: xiii, 77 Seiten
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Masterstudium Mathematik
Publication year: 2017
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Summerer, Leonhard
Assessor: Summerer, Leonhard
Classification: 31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
31 Mathematik > 31.24 Körper, Polynome
31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
AC Number: AC15025101
Item ID: 47316
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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