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The distribution of stock returns and its implications

Artner, Richard (2017) The distribution of stock returns and its implications.
Magisterarbeit, University of Vienna. Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
BetreuerIn: Reschenhofer, Erhard

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DOI: 10.25365/thesis.46235
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-27263.66362.115059-6

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Abstract in English

The daily returns of the S&P 500 index from 20.11.1950 to 18.11.2016 and the Nikkei 225 index from 5.01.1984 to 7.12.2016 are analyzed in great depth with a focus on graphical analyses. The analyses revealed that both datasets have fat-tails and that estimations of skewness and kurtosis are problematic because the estimates vary widely in different time periods and are significantly influenced by just a few days with strong index fluctuations. Parametric analysis of the tails clearly suggests that the tails of stock returns are so thick that no 4 th moment exists. Various symmetric continuous probability distributions were fitted to the datasets and, building on the assessment that the properties of negative and positive returns differ, artificial distributions were constructed out of different fits for the left and the right tail for both indices. The three parameter Student`s t distribution fits both datasets reasonable well and, hence, samples of different sizes of independent and identically Student`s t distributed random variables with shape parameters in the range of [2.9, 3.8] were simulated. Five important quantities, namely mean, median, variance, 99% quantile and 99.9% quantile were then estimated parametrically via maximum likelihood as well as nonparametrically and the mean absolute deviation was computed for each estimator in each scenario. The parametric estimations did not turn out to be satisfactory for a sample size of 100 because the estimations of the shape parameter occasionally deviated strongly from the true parameter and the maximization of the likelihood even failed in some of the iterations. For sample sizes larger than 500, the parametric estimates are clearly superior to their nonparametric counterparts. The nonparametric quantile and variance estimates are much more right-skewed than their parametric counterparts, particularly for smaller sample sizes. The sample quantiles (99% and 99.9%) benefit more from an increase in sample size and are harmed less from a decrease of the shape parameter (i.e. a thicker tail) than the sample variance.

Schlagwörter in Englisch

Fat-tails / Mean Absolute Deviation / Simulation Study / Stock Returns / Student`s t Distribution

Abstract in German

Die täglichen Renditen des Standard & Poor`s 500 Aktienindexes vom 20.11.1950 bis zum 18.11.2016 und die des Nikkei 225 Aktienindexes vom 5.01.1984 bis zum 7.12.2016 wurden auf Herz und Nieren untersucht, und zwar mit einem starken Fokus auf graphischen Analysemethoden. Beide Datensätze haben sogenannte „fat-tails“ und Schätzungen des standardisierten dritten (Schiefe) und vierten (Kurtosis) Moments sind problematisch da sich die Schätzwerte je nach Zeitperiode stark unterscheiden und von einigen wenigen Tagen mit starken Kursschwankungen maßgeblich beeinflusst werden. Die durchgeführten parametrischen Analysen legen zudem den Schluss nahe, dass kein viertes Moment existiert. Verschiedene symmetrische und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurden an die beiden Datensätze angepasst um weitere Aufschlüsse über das Verhalten der Renditen zu gewinnen. Aufgrund der Erkenntnis, dass sich positive und negative Renditen unterscheiden, wurden des Weiteren artifizielle Verteilungen durch ein separates Anpassen von Verteilungen an die oberen und unteren 50% der Daten kreiert. Die (drei Parameter) studentsche t-Verteilung beschreibt die Renditen der beiden Aktienindexe recht gut und aus diesem Grund wurden mithilfe der Programmiersprache R unterschiedlich große Stichproben aus unabhängigen und identisch t-verteilten Zufallsvariablen, mit Freiheitsgraden aus dem Intervall [2.9, 3.8], erzeugt. Fünf essentielle statistische Größen, nämlich Erwartungswert, Median, Varianz, 99% Quantil und 99.9% Quantil wurden anschließend mittels parametrischer Maximum-Likelihood-Methode sowie nicht-parametrisch geschätzt. In weiterer Folge wurde die Genauigkeit der Schätzungen mithilfe der mittleren absoluten Abweichung ermittelt. Die parametrischen Schätzungen waren für eine Stichprobengröße von 100 nicht zufriedenstellend, da die Schätzungen der Freiheitsgrade teilweise sehr schlecht waren und in manchen Iterationen sogar die Maximierung der Likelihood scheiterte. Ab einer Stichprobengröße von 1000 zeigte sich, dass die parametrischen Schätzungen genauer als die nicht-parametrischen sind. Die nicht- parametrischen Quantils- und Varianzschätzer, also die Stichprobenquantile sowie die Stichprobenvarianz, sind rechts-schief und weniger symmetrisch als die entsprechenden parametrischen Schätzer, insbesondere bei einer Stichprobengröße von 100 oder 500. Die Stichprobenquantile (99% und 99.9%) profitieren stärker von einer Erhöhung der Stichprobengröße und weniger stark von einer Verringerung der Freiheitsgrade als die Stichprobenvarianz.

Schlagwörter in Deutsch

Fat-tails / Mittlere absolute Abweichung / Simulationsstudie / Aktienrenditen / Studentsche t-Verteilung

Item Type: Hochschulschrift (Magisterarbeit)
Author: Artner, Richard
Title: The distribution of stock returns and its implications
Umfangsangabe: 57 Seiten : Diagramme
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Magisterstudium Statistik
Publication year: 2017
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Reschenhofer, Erhard
Assessor: Reschenhofer, Erhard
Classification: 83 Volkswirtschaft > 83.50 Geld, Inflation, Kapitalmarkt
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
31 Mathematik > 31.73 Mathematische Statistik
AC Number: AC13739451
Item ID: 46235
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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