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On varieties in power series spaces

Woblistin, Sebastian (2016) On varieties in power series spaces.
Dissertation, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Lamel, Bernhard

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DOI: 10.25365/thesis.45829
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-24618.91109.467361-1

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Abstract in English

The main objective of this thesis is to understand certain aspects of the geometry of the set of solutions Y(f) to an implicit power series equation f(x,y(x)) = 0. This equation corresponds to an infinite system of polynomial equations F_{i}(y_{\alpha}) = 0 in the coefficients y_{\alpha} of y. The usual approach to understand these systems is to consider Y(f) as the closed points of the infinite-dimensional scheme defined by the coefficient polynomials, which has the disadvantage that finite-dimensional geometrical concepts such as regularity are not available. Instead, in this work we identify power series y(x) with (non-closed) points y(x) of the spectrum of C[|x,y|], which makes it possible to define notions of regularity and characterize these notions accordingly with adopted versions of the Jacobian criterium. Geometrically, the regularity of an arquile variety (in the case of a single independent variable) corresponds to the smoothness of the variety in the sense (of differential geometry) that locally the arquile variety is isomorphic to a neighborhood of a free power series module.

Schlagwörter in Englisch

Algebraic Geometry/ Complex Analysis / Commutative Algebra / Infinite-dimensional Geometry

Abstract in German

In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte der Geometrie von so genannten arquilen Varietäten, welche die Lösungsmengen Y(f) von impliziten Potenzreihengleichungen f(x,y(x)) = 0 sind, untersucht. Diese Gleichungen enstsprechen einem unendlichen System an polynomialen Gleichungen F_{i}(y_{alpha}) = 0 in den Koeffizienten y_{alpha} von y(x). Der übliche Zugang, der beispielsweise in der Theorie der arc spaces gewählt wird, ist, die Lösungsmenge Y(f) als die Menge der abgeschloßenen Punkte des durch die Koeffizientenpolynome definierten unendlich-dimensionalen Schemas zu betrachten. Der Nachteil dieses Ansatzes ist jedoch, dass geometrische Konzepte wie das der Regularität im Unendlichdimensionalen nicht mehr zu Verfügung stehen. Stattdessen werden in dieser Arbeit Potenzreihen y(x) mit (nicht-abgeschloßenen) Punkten P_{y} des Spektrums von C[|x,y|] identifiziert, wodurch es möglich ist, Begriffe von Regularität von arquilen Varietäten zu definieren und mithilfe geeigneter Jakobi-Kriterien zu charakterisieren. Geometrisch gesehen entspricht die Regularität (im Falle einer einzelnen unabhängigen Variable) der Glattheit der Lösungsmenge in dem Sinne, dass eine Umgebung der Varietät zu einer Umgebung in einem freien Potenzreihenmoduls isomorph ist.

Schlagwörter in Deutsch

Algebraische Geometrie/ Komplexe Analysis / Kommutative Algebra / Unendlichdimensionale Geometrie

Item Type: Hochschulschrift (Dissertation)
Author: Woblistin, Sebastian
Title: On varieties in power series spaces
Umfangsangabe: iii, 121 Seiten
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Publication year: 2016
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Lamel, Bernhard
MitbetreuerIn: Hauser, Herwig
Assessor: Popescu, Dorin
2. Assessor: Pfister, Gerd
Classification: 31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
31 Mathematik > 31.43 Funktionen mit mehreren komplexen Variablen
31 Mathematik > 31.51 Algebraische Geometrie
AC Number: AC14536864
Item ID: 45829
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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