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A 3D Helmholtz solver and efficient time integration methods for viscous flows in the ANTARES framework

Blies, Patrick (2017) A 3D Helmholtz solver and efficient time integration methods for viscous flows in the ANTARES framework.
Dissertation, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Muthsam, Herbert

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DOI: 10.25365/thesis.45667
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-27071.13425.228070-6

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Abstract in English

In fluid dynamics, depending on the nature of the flow, different time scales govern the physical processes. This involves a significant hurdle for numerical simulations of these systems since the smallest formal time scale determines the size of the overall time step of the numerical simulation. This can slow down computations considerably. To overcome the obstacle of small formal time scales and speed up the integration of the governing equations, different methods have been implemented into the ANTARES code – the code used by our group to simulate convection in pulsating and non-pulsating stars and double–diffusive convection, among others. The overarching topic of this thesis is the advancement of the applicability of one of these methods: a strong stability preserving implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta scheme as introduced into the ANTARES code by F. Kupka et al., (2012). Up to now, these IMEX-RK schemes have been implemented for the case of two spatial dimensions only and take into account only heat and solute diffusion as the processes possibly introducing the smallest time scale into the entire problem. One long–term goal of our group is the realistic hydrodynamic simulation of the double–diffusive convection that occurs in giant gas planets, as it is called for by J. Leconte and G. Chabrier, (2012), e.g., because it is one of the candidates that could explain the luminosity anomaly of Saturn (J. Leconte and G. Chabrier, 2013). To be able to achieve that, several steps must be undertaken: first of all, we have to be able to use the IMEX method for flows that are not only limited by heat and solute diffusion, but by viscosity, too, because the viscous time scale of the flow problem also induces a limitation to the time step in simulations of convection in giant planets with moderate Prandtl numbers. One part of this theses is the derivation of the IMEX equations for these by viscosity limited flows. Secondly, the simulations must be able to be performed in three dimensions because the rotation of planets does call for a third dimension. Thirdly, another simplification that has been used up to now in simulations of double–diffusive convection is the assumption that the thermal conductivity Kt and the concentration diffusivity κS are constants. This is not the case in most physical flows and thus, we need to address this simplification and introduce a way to solve equations where Kt and κS are not constant. A consequence of this is that the partial differential equation which results from the implicit part of the IMEX scheme has now non-constant coefficients which are either dependent on space only – in which case the equation to be solved is linear – or on space and temperature, e.g. – in which case the equation is nonlinear. To solve the arising (non-) linear equations of Helmholtz type, we derive and implement a multigrid method for both the linear and nonlinear, variable coefficients Helmholtz equation in three dimensions. This solver is based on the excellent multigrid solver for the two–dimensional Helmholtz equation that has been designed and implemented by Happenhofer, (2014) and is crucial both for efficient use of the IMEX methods developed herein but also for future extensions of ANTARES, as e.g. the use of the Eddington approximation for the radiative transport. Finally, it is demonstrated that the modified code is more efficient than its predecessor for simulations of convection in a two-component fluid, where time step limitations are introduced by either heat diffusion or viscosity, for the case of the Boussinesq approximation.

Schlagwörter in Englisch

Computational Fluid Dynamics / (non)linear Helmholtz equation / multigrid / strong stability preserving / implicit-explicit Runge-Kutta methods / finite elements method

Abstract in German

Eine signifikante Schwierigkeit bei der Simulation physikalischer Systeme stellen die unterschiedlichen Zeitskalen dar, auf denen die verschiedenen physikalischen Prozesse ablaufen: die kleinste dieser Zeitskalen legt den maximal erlaubten Zeitschritt für die gesamte Simulation fest. Dies kann Berechnungen erheblich verlangsamen. Um dieses Hindernis zu umgehen und die Integration der hydrodynamischen Grundgleichungen zu beschleunigen, wurden unterschiedliche Methoden in den ANTARES Code – den Code unserer Gruppe, der u.a. zur Simulation von Konvektion in pulsierenden und nicht-pulsierenden Sternen und doppelt-diffusiver Konvektion benutzt wird – implementiert. Das übergreifende Thema dieser Dissertation ist die Weiterentwicklung einer dieser Methoden: einer stark Stabilität erhaltenden implizit-expliziten (IMEX) Runge–Kutta Methode, die von F. Kupka et al., (2012) für den ANTARES Code vorgestellt wurde. Bisher sind diese IMEX Methoden für 2 Dimensionen implementiert und berücksichtigen ausschließlich Wärme- und Konzentrationsdiffusion als die Prozesse, welche den kleinsten Zeitschritt diktieren. Ein langfristiges Ziel unserer Gruppe ist die realistische hydrodynamische Simulation doppelt-diffusiver Konvektion in Gasriesenplaneten, was z.B. von J. Leconte and G. Chabrier, (2012) gefordert wird, da es einer der Kandidaten dafür ist, die Luminositätsanomalie von Saturn zu erklären (J. Leconte and G. Chabrier, 2013). Um dies zu erreichen, sind mehrere Schritte notwendig: zunächst muss dafür gesorgt werden, dass die IMEX Methode auch für Strömungen genutzt werden kann, deren Zeitschritt nicht nur durch Wärme- und Konzentrationsdiffusion beschränkt wird, sondern dass auch solche Strömungen effektiv berechnet werden können, deren Zeitintegration von viskösen Prozessen gebremst wird. Der Grund ist, dass die visköse Zeitskala bei Simulationen von Konvektion in Gasriesenplaneten mit moderater Prandtl Zahl eine Beschränkung darstellt. Ein Teil dieser Dissertation besteht aus der Herleitung der IMEX-Gleichungen für diese, durch Viskosität limitierten, Strömungen. Zweitens müssen die Simulationen in drei Dimensionen durchführbar sein, da die Rotation von Planeten eine dritte Dimension verlangt. Drittens muss eine weitere Vereinfachung fallen gelassen werden, die bisher genutzt wurde: in Simulationen doppelt-diffusiver Konvektion wird angenommen, dass die thermische Leitfähigkeit Kt und die Konzentrationsdiffusion κS konstant sind. Dies ist in dem meisten physikalischen Systemen nicht der Fall. Wir müssen also eine Methode entwickeln, die Gleichungen zu lösen, wenn Kt und κT nicht konstant sind. Eine Konsequenz daraus ist, dass die partielle Differentialgleichung, die aus dem impliziten Teil der IMEX Methode herrührt, nicht-konstante Koeffizienten hat, die entweder nur von den Raumkoordinaten abhängen – in welchem Fall die zu lösende Gleichung linear ist – oder von den Raumkoordinaten und z.B. der Temperatur abhängen – in welchem Fall die zu lösende Gleichung nichtlinear ist. Um diese Gleichung zu lösen, wird ein Multigrid Löser entwickelt, der sowohl die lineare, als auch die nichtlineare generalisierte Helmholtzgleichung in drei Dimensionen lösen kann. Der Löser basiert auf dem exzellenten Multigrid Löser für die zweidimensionale Helmholtzgleichung, der von Happenhofer, (2014) entwickelt wurde. Der entwickelte Löser ist sowohl für die effiziente Nutzung der in dieser Dissertation entwickelten IMEX Methode, als auch für zukünftige Erweiterungen von ANTARES wie z.B. die Nutzung der Eddington-Approximation von fundamentaler Wichtigkeit.

Schlagwörter in Deutsch

Numerische Strömungsmechanik / (nicht)lineare Helmholtzgleichung / Multigrid / stark stabilitätserhaltende / implizit-explizite Runge-Kutta Methoden / Finite-Elemente Methode

Item Type: Hochschulschrift (Dissertation)
Author: Blies, Patrick
Title: A 3D Helmholtz solver and efficient time integration methods for viscous flows in the ANTARES framework
Umfangsangabe: x, 253 Seiten : Diagramme
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Publication year: 2017
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Muthsam, Herbert
MitbetreuerIn: Kupka, Friedrich
Assessor: Breuß, Michael
2. Assessor: Chan, Kwing Lam
Classification: 31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
54 Informatik > 54.76 Computersimulation
AC Number: AC14521774
Item ID: 45667
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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