Universitätsbibliothek Wien

Mean field limit for discrete models and nonlinear discrete Schrödinger equation

Pawilowski, Boris (2015) Mean field limit for discrete models and nonlinear discrete Schrödinger equation.
Dissertation, Universität Wien. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Mauser, Norbert
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URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-29558.93833.940565-9
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Abstract in Englisch

The subject of this thesis is ``the mean field limit for discrete models and the discrete nonlinear Schr\"odinger equation''. The thesis is structured as follows. In the introduction, the context and known results are first recalled, and then the new results are presented. The introduction is followed by three chapters, consisting of material extracted from three articles on theme of this thesis, namely, ``Mean field limit for bosons with compact kernels by Wigner measures transportation'', ``On the rate of convergence for the mean field approximation of bosonic many body quantum dynamics'', and ``Mean field approximation of many body quantum dynamics for Bosons in a discrete numerical model''. A final chapter presents other numerical results.\\ The mathematical tools used are those of semi-classical or microlocal analysis. These tools are applied to the study of problems concerning quantum mean field theory for bosons. The physical idea of mean field dynamics is that the dynamics of a single particle interacting with a large number of other particles, supposing that the particle-particle interaction is weak enough, may be approximated by the dynamics of a single particle subject to the "mean field" potential generated by the rest of the particles. In this thesis, we are interested in a system of $N$ {\it quantum} particles, whose state is described by a wave function that satisfies a linear $N$-body Schr\"odinger equation. We are especially interested in the dynamics of bosons, i.e., indistinguishable particles whose $N$-body wave function is symmetric with respect to any relabelling of the particles.\\ Several authors worked on quantum mean field theory during the '70s and '80s, and much more work has been done since then, mainly since 2000.\\ The present work uses tools of semiclassical analysis in a Wigner measures approach. The idea is to use semiclassical analysis with a small parameter $\varepsilon=\frac 1N$ that tends to $0$ as the number $N$ tends to infinity in the context of a scaling that leads to a mean field limit. This approach to the study of mean field limits of $N$-boson systems has been pioneered by Zied~Ammari and Francis~Nier, and the present thesis is part of the same research programme.\\ Good results are obtained under one of the following technical hypotheses: either a compactness hypothesis on the many-particle state called the "PI condition" with a general {\it bounded} particle-particle interaction potential; or else a relative compactness condition on a Coulombic particle-particle interaction potential. With these hypothesis and certain uniform estimates on the initial states, one can prove convergence of physically interesting objects like reduced density matrices, the limiting forms of which can be characterized using Wigner measures. This convergence holds at all times $t$ in the limit as $N$ tends to infinity; the limiting ($N\rightarrow\infty$) dynamics is then characterized by a nonlinear ``propagation of Wigner measures''.\\ In the first part of the thesis, we are concerned with the problem of mean field dynamics of bosons under a more general hypothesis than the PI condition. We can handle a more general class of states that suffer from a defect of compactness, but must compensate for this by assuming that the interaction operator is compact. Under these hypotheses, using the method of characteristics and Wigner measures, and some of the theory of transportation of measures, we can prove the ``propagation of Wigner measures''.\\ Next, we consider the rate of convergence, as $N$ tends to infinity, of the reduced density matrices for the $N$-boson systems at a time $t > 0$, to those of the mean field limit. Assuming that the interaction operator is bounded and a bound on the initial rate of convergence, we obtain a rate of convergence for later times. M.~Lewin and N.~Rougerie have shown that the convergence rate for certain natural sequences of states of $N$ bosons in a finite number of modes is like $1/N$, but slower rates of convergence are certainly possible. In this thesis we show that, if the states with $1/N$ convergence are taken as initial conditions, then the reduced density matrices of the propagated states at times $t>0$ also converge at the same rate. This result was obtained using truncated Dyson series for the dynamics, treating the interaction as a perturbation.\\ Finally, the numerical part consists in modeling the dynamics of the bosonic mean field, in a finite dimensional phase space $\mathbb C^K$.\\ Thus, one uses a discrete Laplacian written in the form $(\Delta_K z)_i=z_{i+1}+z_{i-1}$. The interaction term between two particles $i$ and $j$ is given by $V_{ij}$ and chosen symmetric. The problem is written for $N$ particles, by respecting the symmetry of the bosons. This allows to decrease the complexity of the problem, given the dimension of the space of any $N$ particles which is $K^N$, whereas for $N$ bosons it is ${N+K-1 \choose K-1}$. For instance, for $N=20$ and $K=10$, with the bosonic symmetry, the space dimension is around $10^7$, and without the symmetry $10^{20}$, which is impossible to be processed by computer.\\ For the numerical computation of the dynamics for $N$ particles, a composition method based on a splitting method is used. The error estimates are computed with the help of the Cauchy inequalities, knowing the order of the error by the formulas of Baker-Campbell-Hausdorff. Numerical methods are used to solve the mean field equation, namely symplectic methods to preserve the quadratic quantities.\\ This modelling allows to validate the theoretical results of convergence to the mean field, to show the expected rates of convergence and also correlations for the mean field.

Schlagwörter in Englisch

Partial differential equation / Bosonic Fock space / Wigner measure / measure transportation / second quantization

Abstract in Deutsch

Gegenstand dieser Doktorarbeit ist ``Mean-Field-Limit(``Mittlere-Feld-Grenzwert'') für diskrete Modelle und die Diskrete Nichtlineare Schrödingergleichung''. Die Arbeit ist wie folgt strukturiert: in einer Einleitung werden Kontext und bekannte Resultate rekapituliert, danach werden neue Ergebnisse präsentiert. Drei Kapitel folgen der Einleitung, die aus Material den folgenden drei Veröffentlichungen zum Thema der Arbeit bestehen:``Mean field limit for bosons with compact kernels by Wigner measures transportation'', ``On the rate of convergence for the mean field approximation of bosonic many body quantum dynamics'', und ``Mean field approximation of many body quantum dynamics for Bosons in a discrete numerical model''. Ein abschliessendes Kapitel präsentiert weitere numerische Resultate. Die hier verwendeten mathematischen Werkzeuge stammen aus semiklassischer und mikrolokaler Analysis. Diese Werkzeuge werden zur Untersuchung der Quanten-Mean-Field-Theorie für Bosonen angewendet.Die physikalische Idee der Mean-Field-Dynamik besteht darin, daß die Dynamik eines einzelnen Teilchnes, das mit einer großen Zahl anderer Teilchen interagiert, durch die Dynamik eines Teilchens, welches dem durch die übrigen Teilchen erzeugten ``Mean-Field''-Potenzial unterliegt, approximiert wird, unter der Annahme, daß die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung klein genug ist. In dieser Doktorarbeit befassen wir uns mit einem System von N Quanten-Teilchen, deren Zustand durch eine Wellenfunktion beschrieben wird, die eine N-Teilchen-Schrödingergleichung erfüllt. Im besonderen sind wir interessiert an der Dynamik von Bosonen, d.h. un-unterscheidbaren Teilchen, deren N-Teilchen-Wellenfunktion bezüglich Umbenennung der Teilchen symmmetrisch ist. Einige Autoren haben in den 70er und 80er über Quanten-Mean-Field-Theorie gearbeitet, seitdem ist viel auf diesem Gebiet getan worden, besonders seit 2000. Die vorliegende Arbeit benutzt Werkzeuge der semi-klassischen Analysis mit einem Wigner-Maß-Zugang. Die Idee ist, semiklassische Analysis zu verwenden mit einem kleinen Parameter $\varepsilon=\frac 1N$, der gegen $0$ geht falls $N$ gegen Unendlich strebt, im Kontext einer Skalierung, die zu einem Mean-Field-Limit führt. Pionierarbeit für diesen Zugang zu Mean-Field-Limits von $N$-Bosonen-Systemen wurde von Z. Ammari und F. Nier gleistet. Die vorliegende Arbeit ist Teil dieses Forschungsprogramms. Gute Ergebnisse werden unter einer der folgenden technischen Voraussetzungen erhalten: eine Kompaktheitsannahme an den Vielteichen-Zustand, die ``PI-Condition'' genannt wird, mit einem allgemeinen Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungspotential, oder alternativ eine relative Kompaktheitsbedingung an ein Coulomb-Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungspotential. Mit diesen Voraussetzungen und bestimmten gleichmäßigen Schranken der Anfangsdaten kann man Konvergenz der physikalisch interessanten Objekte beweisen, deren GrenzFormen durch Verwendung von Wignermaßen charakterisiert werden können. Die Konvergenz gilt für alle Zeiten $t$ im Limes $N$ gegen Unendlich; die Grenz-Dynamik (unter $N$ gegen Unendlich) wird dann durch eine nichtlineare ``Propagation der Wignermaße'' charakterisiert. Im ersten Teil der Arbeit behandeln wir die Mean-Field-Dynamik von Bosonen unter einer allgemeineren Annahme als die PI-Bedingung. Wir können eine allgemeine Klasse von Zuständen, die einem Kompaktheitsdefekt unterliegen, behandeln, müssen aber zusätzlich annehmen, daß der Wechselwirkungsoperator kompakt ist. Unter diesen Voraussetzungen können wir ``Propagation der Wignermaße'' zeigen, wobei die Charakteristikenmethode und Wigner-Maße verwendet werden, und Teile der Transporttheorie für Maße. Als nächstes betrachten wir die Konvergenzrate der reduzierten Dichtematrizen des $N$-Bosonen-Systems, für $N$ gegen Unendlich zu einer festen Zeit $t>0$, zu jenen des Mean-Field-Limits. Unter Annahme einer Beschränkung der anfänglichen Konvergenzrate und Beschränktheit des Wechselwirkungsoperators erhalten wir eine Rate für spätere Zeiten. M. Lewin und N. Rougerie zeigten, daß die Konvergenzrate für bestimmte natürliche Folgen von $N$- Bosonen-Zuständen in einer endlichen Anzahl von Moden $1/N$ beträgt, niedrigere Konvergenzraten sind jedoch möglich. In dieser Arbeit zeigen wir, daß, falls die Zustände mit $1/N$-Konvergenz als Anfagsbedingung gewählt werden, die reduzierten Dichtematrizen der propagierten Zustände zu Zeiten $t>0$ mit derselben Rate konvergieren. Für dieses Resultat wurden ``Truncated Dyson Series'' für die Dynamik verwendet, und die Wechselwirkung als Störung behandelt. Der letzte, numerische Teil befasst sich mit Modellierung der Dynamik des bosonischen Mean-Field in einem endlichdimensionalen Phasenraum $\mathbb C^K$.\\ Dort wird ein diskreter Laplace-Operator verwendet, der in der Form $(\Delta_K z)_i=z_{i+1}+z_{i-1}$ formuliert ist. Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen $i$ und $j$ ist durch $V_{ij}$ gegeben und symmetrisch gewählt. Das Problem wird für $N$ Teilchen formuliert, welche der Symmetrie für Bosonen unterliegen. Dies erlaubt es, die Komplexität des Problems zu reduzieren, da die Dimension des Raumes für $N$ Teilchen $K^N$ ist, für $N$ Bosonen jedoch ${N+K-1 \choose K-1}$. Zum Beispiel hat der Teilchenraum für $N=20$ und $K=10$ mit bosonischer Symmetrie eine Dimension von ungefähr $10^7$, und ohne Symmetrie $10^{20}$, was zu groß ist für eine Verarbeitung im Computer. Für die numerische Berechnung der $N$-Teilchen-Dynamik wurde eine Kompositionsmethode basierend auf einer Splitting-Methode angewendet. Fehlerabschätzungen werden mithilfe der Cauchy-Ungleichung berechnet, ausgehend von der Fehlerordnung, die durch die Formel von Baker-Campbell-Hausdorff bestimmt ist. Numerische Verfahren werden zur Lösung der Mean-Field-Gleichung verwendet, nämlich symplektische Methoden, die quadratische Größen erhalten. Diese Modellierung erlaubt es, die theoretischen Resultate über die Konvergenz zum Mean-Field-Limit zu überprüfen, die erwarteten Konvergenzraten zu zeigen und Korrelationen im Mean-Field zu zeigen.

Schlagwörter in Deutsch

Partielle Differentialgleichungen

Dokumentenart: Hochschulschrift (Dissertation)
AutorIn: Pawilowski, Boris
Titel: Mean field limit for discrete models and nonlinear discrete Schrödinger equation
Untertitel: [Limite de champ moyen pour des modèles discrets et équation de Schrödinger non linéaire discrète]
Umfangsangabe: 168 S. : Ill., graph. Darst.
Institution: Universität Wien
Fakultät: Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw.
Universitätslehrgang (ULG):
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Publikationsjahr: 2015
Sprache: eng ... Englisch
BetreuerIn: Mauser, Norbert
BeurteilerIn: Cancès, Eric
2. BeurteilerIn: Vilmart, Gilles
Klassifikation: 31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
33 Physik > 33.06 Mathematische Methoden der Physik
AC-Nummer: AC12720217
Dokumenten-ID: 40550
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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