Universitätsbibliothek Wien

On characteristic Cauchy problems in general relativity

Paetz, Tim-Torben (2014) On characteristic Cauchy problems in general relativity.
Dissertation, University of Vienna. Fakultät für Physik
BetreuerIn: Chrusciel, Piotr T.

[img] PDF-File
Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved

Download (3894Kb)
DOI: 10.25365/thesis.34936
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-29592.52990.854566-6

Link zu u:search

Abstract in English

Initial value problems provide an extremely powerful tool to construct in a systematic manner general solutions to Einstein's field equations. Due to the Lorentzian geometry of a space-time there are in fact various possibilities of choosing an initial surface, such as e.g. characteristic ones, on which the main focus of this thesis lies. Now, aside from predicting existence and uniqueness (up to isometries) of solutions to these initial value problems for appropriately prescribed data sets, one would also like to say something about the properties of the so-emerging space-times; or, to put it differently, one would like to construct space-times via initial value problems which exhibit specific, physically relevant properties. One such property is that the space-time extends arbitrarily far, at least in certain (null) directions, and that the gravitational field shows there a specific "asymptotically flat or de Sitter"-like fall-off behavior. Such solutions to Einstein's field equations constitute well-suited candidates to model isolated gravitational systems and purely radiative space-times. Another such property is that the space-time admits certain isometry groups. These play a fundamental role in physics, since they e.g. give rise to conserved quantities, and are typical features of the preferred states of a system. Finally, the Bondi mass is an important quantity to capture the energy content of a space-time, while its dependence on the retarded time measures the loss of energy due to radiation escaping to infinity. Its positivity is an important physical expectation, though the proofs of the available positive mass theorems confirming this lack in a physical intuition where this positivity originates from. This thesis is concerned with the construction of solutions to Einstein's field equations from space-like and in particular from characteristic surfaces such that some insights regarding these properties can be gained just from an analysis of the initial data. More concretely, we construct vacuum space-times via "asymptotic initial value problems" which possess a past-asymptotic structure similar to the Minkowskian one by using a novel system of wave equations. We investigate under which conditions on the initial data the prospective vacuum space-time admits a Killing vector field (that is a vector field generating a local isometry), and analyze the existence of vacuum space-times which have both a Killing vector field and a past-asymptotically flat (or de Sitter) structure. Moreover, we characterize null initial data sets for Einstein's field equations which are "smooth at infinity", and thus provide the basis to construct asymptotically flat vacuum space-times from ordinary (non-asymptotic) null surfaces. We further present a manifestly positive-definite formula for the Bondi mass of a globally smooth light-cone just in terms of the initial data given there. It is derived by elementary methods, whereby we obtain a direct, simple positivity proof in this setting.

Schlagwörter in Englisch

general relativity / characteristic Cauchy problem / conformal field equations / smoothness of scri / Killing initial data / Bondi mass

Abstract in German

Anfangswertprobleme stellen ein äußerst mächtiges Werzeug dar, um auf systematische Art und Weise allgemeine Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen zu konstruieren. Die Lorentzsche Geometrie einer Raumzeit bietet vielfältige Möglichkeiten eine Anfangsfläche auszuwählen, wie beispielsweise charakteristische Anfangsflächen, auf denen das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt. Nun möchte man nicht nur Existenz und Eindeutigkeit (bis auf Isometrien) von Lösungen zu solch einem Anfangswertproblem sicherstellen, sondern vielmehr möchte man auch etwas zu den Eigenschaften der so entstehenden Raumzeiten wissen. Das Ziel besteht also darin, über Anfangswertprobleme Raumzeiten zu konstruieren, welche spezifische, physkalische Eigenschaften aufweisen. Eine dieser Eigenschaften ist, dass die Raumzeit zumindest in gewissen (Null-)Richtungen beliebig weit ausgedehnt ist, und dass das Gravitationsfeld dort ein spezifisches "asymptotisch flaches oder de Sitter"-artiges Abfallverhalten zeigt. Derartige Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen bilden geeignete Kandidaten um isolierte gravitierende Systeme und sogenannte "purely radiative space-times" zu modellieren. Eine weitere Eigenschaft ist, dass die Raumzeit gewisse Isometriegruppen besitzt. Diese spielen eine fundamentale Rolle in der Physik, da sie z.B. die Existenz von Erhaltungsgrößen anzeigen, und typische Merkmale von ausgezeichneten Zuständen eines System sind. Schließlich ist die Bondi-Masse eine wichtige Größe um den Energieinhalt einer Raumzeit zu erfassen; ihre Abhängigkeit von der retardierten Zeit misst den Energieverlust durch Strahlung, die ins Unendliche entkommt. Die physikalische Erwartung, dass diese Masse positiv sein muss, wird durch die verfügbaren positiven Massentheoreme bestätigt. Allerdings geben deren Beweise keinerlei physikalische Einsicht darin, warum das so ist. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion von Lösungen zu den Einsteinschen Feldgleichungen über raumartige und insbesondere charakteristische Anfangswertprobleme, so dass nur über eine Analyse der Anfangsdaten etwas zu den gerade beschriebenen Eigenschaften ausgesagt werden kann. Genauer gesagt, werden wir ein neuartiges System von Wellengleichungen benutzen, um Vakuum-Raumzeiten über "asymptotische Anfangswertprobleme'" zu konstruieren, die zu hinreichend frühen Zeiten eine asymptotische Struktur ähnlich der der Minkowski Raumzeit besitzen. Wir untersuchen weiterhin welche Bedingungen Anfangsdaten erfüllen müssen, damit die aus ihnen entstehende Raumzeit Killingfelder enthält (d.h. Vektorfelder, die lokale Isometrien generieren), und analysieren die Existenz von Vakuum-Raumzeiten, die sowohl Killingfelder als auch eine asymptotisch flache- (oder de Sitter-) artige Struktur besitzen. Zudem beschreiben wir Nullanfangsdaten, die einerseits mit den Feldgleichungen kompatibel und andererseits "glatt im Unendlichen" sind, und daher die Basis für die Konstruktion von asymptotisch flachen Vakuum-Raumzeiten von gewöhnlichen (nicht-asymptotischen) Nullflächen aus bieten. Schließlich präsentieren wir eine Formel für die Bondi-Masse eines global glatten Lichtkegels, ausgedrückt nur durch die dort gegebenen Anfangsdaten, die unmittelbar deren Positivität zeigt und durch elementare Methoden hergeleitet werden kann.

Schlagwörter in Deutsch

Allgemeine Relativitätstheorie / charakteristisches Anfangswertproblem / konforme Feldgleichungen / Glattheit von Scri / Killing-Anfangsdaten / Bondi Masse

Item Type: Hochschulschrift (Dissertation)
Author: Paetz, Tim-Torben
Title: On characteristic Cauchy problems in general relativity
Umfangsangabe: 369 S.
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Physik
Publication year: 2014
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Chrusciel, Piotr T.
Assessor: Choquet-Bruhat, Yvonne
2. Assessor: Friedrich, Helmut
Classification: 33 Physik > 33.21 Relativität, Gravitation
AC Number: AC12241441
Item ID: 34936
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

Urheberrechtshinweis: Für Dokumente, die in elektronischer Form über Datennetze angeboten werden, gilt uneingeschränkt das österreichische Urheberrechtsgesetz; insbesondere sind gemäß § 42 UrhG Kopien und Vervielfältigungen nur zum eigenen und privaten Gebrauch gestattet. Details siehe Gesetzestext.

Edit item (Administrators only) Edit item (Administrators only)