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Projective structures, tractors and invariant differential operators

Moosmüller, Caroline (2013) Projective structures, tractors and invariant differential operators.
Masterarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Čap, Andreas

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DOI: 10.25365/thesis.31293
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-29115.28272.380153-6

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Abstract in English

This thesis studies projective structures on smooth manifolds, i.e. equivalence classes of torsion-free affine connections, which induce the same unparametrised geodesics. Questions, that arise naturally in this setting, are concerned with the existence of representatives in the projective class, which have special properties. For example, one may ask if a given projective structure can be represented by a connection coming from a metric or an Einstein metric. Furthermore, the existence of invariants of the geometric structure can be studied. In this setting, differential operators, which are intrinsic to the projective structure, are of particular interest. We treat these problems in the framework of tractor calculus, which is an invariant calculus for projective structures. On a manifold endowed with a projective structure, there is no distinguished connection on the tangent bundle. Nevertheless, there exist natural vector bundles, called tractor bundles, which can be associated to any projective structure and they carry an invariant connection, called tractor connection. Therefore, it is natural to calculate with these bundles. Furthermore, ideas from the general theory of BGG-sequences are used to approach questions associated to projective structures. The BGG-sequence provides a sequence of projectively invariant differential operators, where we are especially interested in the first operators of sequences coming from certain tractor bundles. If D is a first BGG-operator, then the equation Df=0 is called first BGG-equation. For the tractor bundles we consider, the existence of appropriate solutions of the first BGG-equation is equivalent to the existence of special representatives in the projective class. In particular, we provide conditions for the existence of (pseudo-) Riemannian metrics and Einstein metrics and for Ricci flat connections in the projective class. As an application, tractor bundles, their connections and solutions of the first BGG-equation are discussed on the homogeneous model for oriented projective structures, which is the sphere viewed as a homogeneous space of the special linear group.

Schlagwörter in Englisch

Differentialgeometry / Projective geometry / Tractor calculus / BGG-Operators

Abstract in German

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit projektiven Strukturen auf glatten Mannigfaltigkeiten, d.h. mit Äquivalenzklassen torsionsfreier affiner Konnexionen, die die selben unparametrisierten Geodäten definieren. In diesem Zusammenhang stellt sich zunächst die Frage, ob es in einer gegebenen Äquivalenzklasse Konnexionen gibt, die spezielle Eigenschaften haben. Von besonderem Interesse sind z.B. Konnexionen, die von Metriken oder Einstein Metriken induziert werden. Des Weiteren interessiert man sich für Invarianten der geometrischen Struktur, insbesondere für invariante Differentialoperatoren, d.h. Differentialoperatoren, die für die projektive Struktur intrinsisch sind. Wir behandeln diese Fragestellungen mit Hilfe des Traktorkalküls, einem invarianten Kalkül für projektive Geometrien. Einer projektiven Struktur können natürliche Vektorbündel zugeordnet werden, die eine invariante Konnexion besitzen. Diese Bündel heißen Traktorbündel und die zugehörigen Konnexionen Traktorkonnexion. Da es auf einer projektiven Mannigfaltigkeit keine ausgezeichnete Konnexion auf dem Tangentialbündel gibt, ist es natürlich mit diesen Bündeln zu arbeiten. Des Weiteren verwenden wir die Theorie der BGG-Sequenzen. Jede BGG-Sequenz definiert eine Folge von invarianten Differentialoperatoren, wobei insbesondere die ersten Operatoren dieser Folgen von Interesse sind. Bezeichnet D einen ersten BGG-Operator, dann heißt die Gleichung Df=0 erste BGG-Gleichung. Werden die BGG-Sequenzen auf passende Traktorbündel angewendet, so ist die Existenz von bestimmten Lösungen der ersten BGG-Gleichung äquivalent zur Existenz von Konnenxionen in der projektiven Klasse, die spezielle Eigenschaften haben. Insbesondere werden wir daraus Bedingungen für die Existenz von (pseudo-) Riemann'schen Metriken bzw. Riemann'schen Einstein Metriken und Ricci-flachen Konnenxionen in der projektiven Klasse erhalten. Als Anwendung werden Traktorbündel, ihre Konnexionen und Lösungen der ersten BGG-Gleichung auf dem homogenen Modell für orientierte projektive Strukturen diskutiert.

Schlagwörter in Deutsch

Differentialgeometrie / Projektive Geometrie / Traktorkalkül / BGG-Operatoren

Item Type: Hochschulschrift (Masterarbeit)
Author: Moosmüller, Caroline
Title: Projective structures, tractors and invariant differential operators
Umfangsangabe: VI, 102 S. : graph. Darst.
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Publication year: 2013
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Čap, Andreas
Assessor: Čap, Andreas
Classification: 31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Number: AC11332347
Item ID: 31293
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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