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Oscillation theorems for semi-infinite and infinite Jacobi operators

Ammann, Kerstin (2013) Oscillation theorems for semi-infinite and infinite Jacobi operators.
Dissertation, Universität Wien. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Teschl, Gerald

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URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-16421.09705.836078-8
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Abstract in Englisch

The Jacobi difference equation (JDE) plays an important role (not just) in mathematical physics: e.g., it containes the one-dimensional discrete Schrödinger equation as a special case and is intimately related to the theory of orthogonal polynomials as well as to continued fractions. While classical oscillation theory for Jacobi operators puts the sign-changes of solutions of one single operator at the centre of consideration, we compare the number of sign-changes of solutions of two different Jacobi operators. We show that this difference equals the number of weighted sign-changes of the Wronskian of those solutions. The key discovery in oscillation theory, which goes back to the work of Sturm, is the fact that for any real z the number of sign-changes of a solution u(z) equals the number of eigenvalues of the operator below z. Our theorem refines this observation for the JDE by showing that the number of weighted sign-changes of the Wronskian equals the difference of the number of eigenvalues of the operators in the corresponding interval. The main advantage of this approach is that our theorem is also applicable in gaps of the essential spectrum above its infimum, where the classical theorem breaks down (since the solutions are oscillatory, but the Wronskian isn't). This theorem is proven for compact, sign-definite perturbations of the potential of Jacobi operators on the line and on the half-line. For the finite case, we extend earlier work for perturbations of the potential to perturbations of all coefficients. Moreover, we show that this idea carries over to the leading principal minors of Jacobi matrices, which exhibit the same sign pattern as a solution at 0.

Schlagwörter in Englisch

Jacobi difference equation / Wronskian / relative oscillation theory / Jacobi operator / Jacobi matrix / discrete Sturm-Liouville operator

Abstract in Deutsch

Die Jacobi Differenzengleichung (JDG) spielt (nicht nur) in der mathematischen Physik eine wichtige Rolle: z.B. beinhaltet sie die eindimensionale diskrete Schrödingergleichung als Spezialfall und ist eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome sowie den Kettenbrüchen verknüpft. Während die klassische Oszillationstheorie für Jacobi Operatoren die Vorzeichenwechsel der Lösungen eines einzigen Operators ins Zentrum ihrer Betrachtungen stellt, vergleichen wir die Anzahl der Vorzeichenwechsel von Lösungen zweier verschiedener Jacobi Operatoren. Wir zeigen, dass diese Differenz der Anzahl der gewichteten Vorzeichenwechsel der Wronski Determinante der beiden Lösungen entspricht. Die zentrale Entdeckung der Oszillationstheorie geht zurück auf Sturm und besagt, dass für jedes reelle z die Anzahl der Vorzeichenwechsel einer Lösung u(z) der Anzahl der Eigenwerte des Operators unterhalb von z entspricht. Unser Theorem entwickelt diese Beobachtung für die JDG dahingehend weiter, dass es zeigt, dass die Anzahl der gewichteten Vorzeichenwechsel der Wronski Determinante der Differenz der Anzahl der Eigenwerte der beiden Operatoren im zugehörigen Intervall entspricht. Der Vorteil dabei ist, dass unser Theorem auch in Lücken des wesentlichen Spektrums überhalb seines Infimums anwendbar ist, im Gegensatz zum klassischen Theorem (da die Lösungen hier oszillatorisch sind, die Wronski Determinante aber nicht). Dieses Theorem wird für kompakte, vorzeichenbestimmte Störungen des Potentials von singulären Jacobi Operatoren, wie auch von Jacobi Operatoren mit einem regulären Endpunkt, bewiesen. Für den endlichen Fall erweitern wir frühere Arbeiten über Störungen des Potentials auf Störungen aller Koeffizienten. Weiters zeigen wir, dass sich diese Idee auch auf die führenden Hauptminoren von Jacobi Matrizen übertragen lässt, da sie das selbe Vorzeichenmuster aufweisen wie eine Lösung bei 0.

Schlagwörter in Deutsch

Jacobi Differenzengleichung / Wronski Determinante / Relative Oszillationstheorie / Jacobi Operator / Jacobi Matrix / diskrete Sturm-Liouville Operatoren

Dokumentenart: Hochschulschrift (Dissertation)
AutorIn: Ammann, Kerstin
Titel: Oscillation theorems for semi-infinite and infinite Jacobi operators
Umfangsangabe: 137, 3 S.
Institution: Universität Wien
Fakultät: Fakultät für Mathematik
Publikationsjahr: 2013
Sprache: eng ... Englisch
BetreuerIn: Teschl, Gerald
BeurteilerIn: Gesztesy, Fritz
2. BeurteilerIn: Behrndt, Jussi
Klassifikation: 31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis
31 Mathematik > 31.47 Operatortheorie
31 Mathematik > 31.44 Gewöhnliche Differentialgleichungen
AC-Nummer: AC11021589
Dokumenten-ID: 27680
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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