Universitätsbibliothek Wien

Sobolev metrics on shape space of surfaces

Harms, Philipp (2010) Sobolev metrics on shape space of surfaces.
Dissertation, Universität Wien. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Michor, Peter

[img]
Vorschau
PDF
Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved

Download (4Mb)
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-30091.75113.580053-4
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-30091.75113.580053-4

Link zu u:search

Abstract in Englisch

Many procedures in science, engineering and medicine produce data in the form of geometric shapes. Mathematically, a shape can be modeled as an un-parameterized immersed sub-manifold, which is the notion of shape used here. Endowing shape space with a Riemannian metric opens up the world of Riemannian differential geometry with geodesics, gradient flows and curvature. Unfortunately, the simplest such metric induces vanishing path-length distance on shape space. This discovery by Michor and Mumford was the starting point to a quest for stronger, meaningful metrics that should be able to distinguish salient features of the shapes. Sobolev metrics are a very promising approach to that. They come in two flavors: Outer metrics which are induced from metrics on the diffeomorphism group of ambient space, and inner metrics which are defined intrinsically to the shape. In this work, Sobolev inner metrics are developed and treated in a very general setting. There are no restrictions on the dimension of the immersed space or of the ambient space, and ambient space is not required to be flat. It is shown that the path-length distance induced by Sobolev inner metrics does not vanish. The geodesic equation and the conserved quantities arising from the symmetries are calculated, and well-posedness of the geodesic equation is proven. Finally examples of numerical solutions to the geodesic equation are presented.

Schlagwörter in Englisch

shape space / surface / immersion / embedding / Riemannian metric / Sobolev metric / geodesic equation / well-posedness / covariant derivative / Laplacian

Abstract in Deutsch

Geometrische Figuren spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Wissenschaft, Technik und Medizin. Mathematisch kann eine Figur als unparametrisierte, immersive Teil-Mannigfaltigkeit modelliert werden, was auch der dieser Arbeit zugrunde liegende Figurenbegriff ist. Wenn der Raum der Figuren mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet wird, eröffnet sich die Welt der Riemannschen Differential-Geometrie mit Geodäten, Gradienten-Flüssen und Krümmung. Leider induziert die einfachste solche Metrik verschwindende Kurvenlängen-Distanz am Raum der Figuren. Diese Entdeckung von Michor und Mumford war der Ausgangspunkt für die Suche nach stärkeren Metriken, die es ermöglichen sollten, Figuren anhand von für die jeweilige Anwendung wichtigen Merkmalen zu unterscheiden. Sobolev-Metriken sind ein vielversprechender Ansatz dazu. Es gibt sie in zwei Varianten: Sogenannte äußere Metriken, die von Metriken auf der Diffeomorphismen-Gruppe des umgebenden Raums induziert werden, und innere Metriken, die intrinsisch zur Figur definiert sind. In dieser Arbeit werden innere Sobolev-Metriken in einem sehr allgemeinen Rahmen entwickelt und präsentiert. Es gibt keine Einschränkung auf die Dimension des eingebetteten oder umgebenden Raums, und der umgebende Raum muss nicht flach sein. Es wird gezeigt, dass die Kurvenlängen-Distanz von inneren Sobolev Metriken am Raum der Figuren nicht verschwindet. Die Geodätengleichung und die durch Symmetrien erzeugten Erhaltungsgrößen werden hergeleitet, und die Wohldefiniertheit der Geodätengleichung wird gezeigt. Beispiele von numerischen Lösungen der Geodätengleichung schließen die Arbeit ab.

Schlagwörter in Deutsch

Figurenraum / Fläche / Immersion / Einbettung / Riemannsche Metrik / Sobolev Metrik / Geodätengleichung / wohldefiniert / covariante Ableitung / Laplace Operator

Dokumentenart: Hochschulschrift (Dissertation)
AutorIn: Harms, Philipp
Titel: Sobolev metrics on shape space of surfaces
Umfangsangabe: XII, 88 S. : Ill., graph. Darst.
Institution: Universität Wien
Fakultät: Fakultät für Mathematik
Publikationsjahr: 2010
Sprache: eng ... Englisch
BetreuerIn: Michor, Peter
BeurteilerIn: Trouvé, Alain
2. BeurteilerIn: Mumford, David
Klassifikation: 31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis
AC-Nummer: AC08405125
Dokumenten-ID: 12875
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

Urheberrechtshinweis: Für Dokumente, die in elektronischer Form über Datennetze angeboten werden, gilt uneingeschränkt das österreichische Urheberrechtsgesetz; insbesondere sind gemäß § 42 UrhG Kopien und Vervielfältigungen nur zum eigenen und privaten Gebrauch gestattet. Details siehe Gesetzestext.

Dokument bearbeiten (nur für AdministratorInnen) Dokument bearbeiten (nur für AdministratorInnen)