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A nonlinear theory of generalized tensor fields on Riemannian manifolds

Nigsch, Eduard (2010) A nonlinear theory of generalized tensor fields on Riemannian manifolds.
Dissertation, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Kunzinger, Michael

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DOI: 10.25365/thesis.12065
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-30294.27806.337861-9

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Abstract in English

This thesis presents three related topics in the field of full diffeomorphism-invariant Colombeau algebras. Part I consists of an extension of the theory of full diffeomorphism-invariant Colombeau algebras to the setting of generalized tensor fields on Riemannian manifolds. The Levi-Civita connection is used as a key element to regularize distributional tensor fields and thus embed them in a canonical way into a space of nonlinear generalized tensor fields. This stands in contrast to a related construction in which instead of a connection on the manifold an additional regularization parameter of generalized tensor fields was used, which is technically more involved. The central question about the constructed space of generalized tensor fields is whether the embedding of distributional tensor fields commutes with pullback along diffeomorphisms and Lie derivatives. In general this is not the case, which is a main result of this work. One gets however a positive answer for operations respecting the structure of the Riemannian manifold, i.e., for pullbacks along isometries and Lie-derivatives along Killing vector fields. Part II gives a detailed description of the topology on tensor products of spaces of sections of finite dimensional vector bundles which is used for the description of distributional tensor fields. One obtains bornologically isomorphic representations of the latter, which complements the existing literature. Part III finally gives a point value characterization for generalized functions in the local full diffeomorphism-invariant theory. Previously, such a characterization has been available only in simpler cases.

Schlagwörter in Englisch

distributional tensor fields / Colombeau algebra / generalized functions / point values / nonlinear distributional geometry

Abstract in German

Diese Dissertation behandelt drei verwandte Themenbereiche im Gebiet der vollen diffeomorphismeninvarianten Colombeau'schen Algebren. Teil I umfasst eine Erweiterung der Theorie der vollen diffeomorphismeninvarianten Colombeau'schen Algebren auf den Fall von Tensorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Eine wesentliche Rolle spielt dabei der Levi-Civita-Zusammenhang mittels welchem distributionelle Tensorfelder regularisiert und somit auf eine kanonische Art und Weise in einen Raum nichtlinearer verallgemeinerter Tensorfelder eingebettet werden können. Dies steht im Gegensatz zu einer verwandten Konstruktion in der an Stelle des Zusammenhanges auf der Mannigfaltigkeit ein zusätzlicher Regularisierungsparameter für verallgemeinerte Tensorfelder eingeführt wurde, was im Vergleich zur vorliegenden Variante technisch aufwändiger ist. Die wesentliche Frage zum konstruierten Raum verallgemeinerter Tensorfelder ist, ob die Einbettung von distributionellen Tensorfeldern mit Pullback entlang von Diffeomorphismen und Lie-Ableitungen kommutiert. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall, was ein Hauptresultat dieser Arbeit darstellt; jedoch erhält man ein positives Ergebnis für solche Operationen, welche die zugrunde liegende Struktur der Riemannschen Mannigfaltigkeit respektieren, das heißt für Pullback entlang von Isometrien beziehungsweise Lie-Ableitungen entlang von Killing-Vektorfeldern. Teil II gibt eine detaillierte Beschreibung der Topologie auf Tensorprodukten von Schnitträumen endlichdimensionaler Vektorbündel, die für die Beschreibung von distributionellen Tensorfeldern nützlich ist. Man erhält dadurch bornologisch isomorphe Darstellungen letzterer als Ergänzung zur vorhandenen Literatur. Teil III schließlich gibt eine Punktwertecharakterisierung für verallgemeinerte Funktionen in der lokalen diffeomorphismeninvarianten Theorie, welche zuvor nur in einfacheren Fällen verfügbar war.

Schlagwörter in Deutsch

distributionelle Tensorfelder / Colombeau Algebra / verallgemeinerte Funktionen / Punktwerte / nichtlineare distributionelle Geometrie

Item Type: Hochschulschrift (Dissertation)
Author: Nigsch, Eduard
Title: A nonlinear theory of generalized tensor fields on Riemannian manifolds
Umfangsangabe: VII, 139 S.
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Publication year: 2010
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Kunzinger, Michael
Assessor: Vickers, James
2. Assessor: Grosser, Michael
Classification: 31 Mathematik > 31.40 Analysis: Allgemeines
31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Number: AC08327180
Item ID: 12065
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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