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Comparison theorems in Riemannian geometry

Kröncke, Klaus (2010) Comparison theorems in Riemannian geometry.
Diplomarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Kunzinger, Michael

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DOI: 10.25365/thesis.10736
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-29436.87382.193853-4

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Abstract in English

In Chapter 1, we first introduce basic concepts of curvature. Then we summarize the most important results of the theory of coverings. Then we describe manifolds of constant curvature. Chapter 2 is about methods of variational calculus of curves. With these methods, we prove the Bonnet-Myers theorem, which gives a fundamental property of complete Riemannian manifolds whose sectional curvature is bounded from below by a positive constant. In Chapter 3, we first introduce Jacobi fields and conjugate points. The rest of the Chapter is spent devoted to the Theorem of Rauch and some of its important conclusions. Rauch's theorem describes the behavior of Jacobi fields depending on the sectional curvature. As a conclusion, we obtain, among other things, the Theorem of Cartan-Hadamard which is a fundamental result about the structure of complete Riemannian-manifolds of nonpositive sectional curvature. In Chapter 4, we prove the Morse Index theorem which states that the index of the Index form along a geodesic $\gamma$ equals the number of conjugate points along $\gamma$, each counted with its multiplicity. Chapter 5 provides the foundations of Morse theory, which are needed in the proof of the Sphere theorem. The Sphere theorem is proven in Chapter 6.

Schlagwörter in Englisch

Global Riemannian Geometry

Abstract in German

Im ersten Kapitel führen wir zunächst Grundkonzepte der Krümmung ein. Danach fassen wir die wichtigsten Resultate aus der Überlagerungstheorie zusammen. Zuletzt beschreiben wir Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung. In Kapitel 2 geht es um Techniken der Variationsrechnung. Mit diesen Methoden beweisen wir das Theorem von Bonnet-Myers, eine fundamentale Aussage über vollständige Riemann-Mannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung durch eine positive Konstante nach unten beschränkt ist. In Kapitel 3 führen wir zunächst Jacobi-Feldern und konjugierte Punkte ein. Der Rest des Kapitels ist dem Theorem von Rauch und einigen wichtigen Folgerungen gewidmet. Rauch's Theorem beschreibt das Verhalten von Jacobi-Feldern in Abhängigkeit von der Schnittkrümmung. Als Folgerung erhält man unter anderem das Theorem von Cartan-Hadamard, eine fundamentale Aussage über die Struktur vollständiger Riemann-Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung. In Kapitel 4 beweisen wir das Morse-Index Theorem, das aussagt, dass der Index der Index-Form entlang einer Geodäte $\gamma$ die konjugierten Punkte entlang $\gamma$ mit ihrer Vielfachheit zählt. Kapitel 5 ist den Grundlagen der Morse Theorie gewidmet, die für den Beweis des Sphärentheorems benötigt werden. Das Sphärentheorem wird in Kapitel 6 bewiesen.

Schlagwörter in Deutsch

Globale Riemannsche Geometrie

Item Type: Hochschulschrift (Diplomarbeit)
Author: Kröncke, Klaus
Title: Comparison theorems in Riemannian geometry
Umfangsangabe: 89 S.
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Publication year: 2010
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Kunzinger, Michael
Assessor: Kunzinger, Michael
Classification: 31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis
31 Mathematik > 31.61 Algebraische Topologie
AC Number: AC08210441
Item ID: 10736
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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