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Nonstandard methods in stochastics and applications to mathematical finance

Schönenberger, Lisa (2010) Nonstandard methods in stochastics and applications to mathematical finance.
Diplomarbeit, University of Vienna. Fakultät für Mathematik
BetreuerIn: Schachermayer, Walter

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DOI: 10.25365/thesis.10555
URN: urn:nbn:at:at-ubw:1-29668.01345.684964-6

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Abstract in English

The first chapter of this thesis is concerned with measure and probability theory from a Nonstandard Analysis point of view. First we give an overview of general facts in Nonstandard Analysis. The second part of the first chapter is about internal measure spaces. We show that internal measure spaces are in general not measure spaces but that there is always a measure space in the usual sense, the so called Loeb space, which is a canonical extension of the nonstandard measure space. We apply these results to the Brownian Motion and show that the Brownian Motion can be obtained as an infinitesimal random walk. We also give some more general construction for a Brownian Motion. In the next part we show for a big class of functions and processes on probability spaces in the nonstandard universe that they in a certain sense correspond to standard entities. In the second chapter we give some applications of nonstandard stochastics in mathematical finance. First we look at European call options in the Cox-Ross- Rubinstein model and in the Black-Scholes model. Then we introduce the hyperfinite CRR-model, where we use random walks with infinitesimal time steps. Then we show that the BS-model is precisely the standard part of the hyperfinite CRR-model. Finally we consider American put options in the hyperfinite CRR-model and we show that the unique optimal stopping time for an American put option in the BS-model is given by the standard part of an optimal stopping time in the hyperfinite CRR-model.

Schlagwörter in Englisch

Nonstandard Analysis / Loeb Measures / Brownian Motion / European Options / American Options / Cox-Ross-Rubinstein / Black-Scholes

Abstract in German

Im ersten Kapitel dieser Diplomarbeit werden Methoden aus der Nichtstandard Analysis auf Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie angewendet. Der erste Abschnitt dieses Kapitels ist eine Zusammenfassung über die Konstruktion von Nichtstandard Mengen und über deren grundlegende Eigenschaften. Im zweiten Teil des ersten Kapitels werden Maßräume im Nichtstandard Universum beschrieben, sogenannte interne Maßräume. Wir zeigen, dass diese internen Maßräume im Allgemeinen keinen Maßräume im üblichen Sinne sind, aber dass für jeden internen Maßraum ein Maßraum, der sogenannte Loeb Raum, existiert, der eine kanonische Erweiterung des internen Maßraumes ist. Im Folgenden wenden wir diese Ergebnisse auf die Brownsche Bewegung an und zeigen den Zusammenhang der Brownschen Bewegung mit infinitesimalen Zufallspfaden. Im nächsten Abschnitt zeigen wir für eine große Klasse von Funktionen auf internen Wahrscheinlichkeitsräumen, dass sie mit Standard Funktionen auf den zugehörigen Loeb Räumen in einem bestimmten Sinne übereinstimmen. Das heißt für Funktionen auf internen Wahrscheinlichkeitsräumen existiert eine Funktion auf dem Loeb Raum mit analogen Eigenschaften. Im zweiten Kapitel werden Anwendungen auf die Finanzmathematik beschrieben. Zunächst beschreiben wir Europäische Optionen im Cox-Ross-Rubinstein Modell und im Black-Scholes Modell. Dann führen wir das hyperendliche Cox-Ross-Rubinstein Modell ein, welches eine Erweiterung mit infinitesimalen Zeitschritten ist und ähnliche Eigenschaften wie das gewöhnliche Cox-Ross-Rubinstein Modell besitzt. Im Folgenden zeigen wir, dass das Black-Scholes Modell durch den Standardteil des hyperendlichen Cox-Ross-Rubinstein Modells gegeben ist. Als letztes betrachten wir Amerikanische Put-Optionen im hyperendlichen Cox-Ross-Rubinstein Modell und zeigen, dass die optimale Stoppzeit einer Amerikanischen Put-Option im Black- Scholes Modell durch den Standardteil der optimalen Stoppzeit im hyperendlichen Cox-Ross-Rubinstein Modell gegeben ist.

Schlagwörter in Deutsch

Nichtstandard Analysis/ Loeb Maß, Brownsche Bewegung/ Europäische Optionen / Amerikanische Optionen / Cox-Ross-Rubinstein / Black-Scholes

Item Type: Hochschulschrift (Diplomarbeit)
Author: Schönenberger, Lisa
Title: Nonstandard methods in stochastics and applications to mathematical finance
Umfangsangabe: 57 S.
Institution: University of Vienna
Faculty: Fakultät für Mathematik
Publication year: 2010
Language: eng ... Englisch
Supervisor: Schachermayer, Walter
Assessor: Schachermayer, Walter
Classification: 31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Number: AC08190258
Item ID: 10555
(Das PDF-Layout ist ident mit der Druckausgabe der Hochschulschrift.)

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